采样数据系统的相位抖动

计算采样数据系统中由相位噪声引起的信噪比（SNR）性能降低的最简单的方法是将相位噪声转换成相位抖动。利用在给定频率条件下，时间延迟与相位延迟相同的原理很容易实现这一转换。扩展这一原理并以噪声功率的形式写出，得到公式（1）：

公式略(1)

其中，{ }=相位噪声有效值，单位为弧度（rad）

_{ }=相位抖动有效值，单位为秒(s)

_{clk}=时钟频率，单位为弧度/秒(rad/s)
也就是说，对于一个给定的时钟抖动误差，信号频率越高则相位误差越大。 _{ }项是时钟的总积分相位噪声 ，并通过下式定义时钟SNR：

SNR_{clk}=-10log( ^{2}_{ })

这样，（1）式将总积分相位噪声，或时钟SNR与总时钟抖动联系起来。相位噪声和时钟抖动是同一现象的两种不同表述方式。
传统采样数据SNR分析采用图1作为确定时钟噪声在采样数据中产生误差的辅助方法，由此可以得到下面几个公式。

图1（略）

公式略(1)，零均值，独立性

其中 ^{2}_{t}是有效值的平方，单位为s2。
由此得到噪声功率是抖动功率和信号功率导数的函数。
用一个带有抖动的时钟对信号采样后的SNR定义为：

例如，在一个单正弦波中，

v_{out}(t)=Asin _{O}t
v'_{out}(t)=A _{O}cos _{O}t

因此，
E\,﹛v_{out}^{2}(t)﹜=v_{out}(t)的功率=\frac{A^{2}}{2}

E\,﹛v'_{out}\,^{2}(t)﹜=v'_{out}(t)的功率=\frac{ ^{2}_{o}A^{2}}{2}

利用（2）式，得到
公式(略)， 用于单载波系统。 (3)

这是用一个带有抖动的时钟对一个单正弦波信号采样后的标准SNR公式，这一公式可在很多著作中见到。直觉上信号频率越高则转换速率越大，这导致采样时间改变时电压变化会增大。应当记住，为了得到数据转换器产生的总噪声，在此基础上还必须加上量化噪声和热噪声。

将上述结论扩展到多载波信号是一件很容易的事。采用与前面相同的过程，只是将v_{out}定义为n个等幅正弦波的和，

公式(略)

这个结论是相对于总信号v_{out}的。当只相对于其中一个载波时，SNR变成公式(略)该式用于多载波系统中的单载波。

与单载波情况（3）式相比，（4）式中的分母含有n个频率项。每个载波基底的SNR（dBc）已经降低大约10log(n)。然而，在数据转换器中，每一个载波可能都需要根据信号统计量降低10log(n) ～ 20log(n)，以避免削弱量化器。这相当于将量化噪声和热噪声本底提高20log(n)，从而使多载波时钟抖动对总SNR的影响比单载波情况下小。这时量化噪声和热噪声可能起到更大的作用。

许多现代无线电系统不使用窄带载波。调制后的数据经常占有相当宽的频谱。为了确定这些系统中时钟抖动对SNR的影响，为方便起见假设数据具有零均值，并且平坦的频谱均匀地分布在fL和fH之间（fL < fH），如图2所示 。将幅度平方并对带宽积分，可得到总信号功率 out 。

图2(略)

帕斯瓦尔定理的一种表述方式指出一个信号在时域的能量与该信号在频域的能量相等，也就是，

公式(略)

其中∣g(f)∣^{2}是功率谱密度，单位为W/Hz。

此外，使用傅立叶变换的微分定理，即一个导数的傅立叶变换等于原函数的傅立叶变换乘以i ，如下所示：

公式(略)

将上式代入帕斯瓦尔定理，得到v'(t)的功率与i g( )的功率相等，如下式所示：

由于g(f)= 定义域在fL 和fH 之间（并且此定义域以外为0），上式变为：

公式(略)代入（2）式，

公式(略)

这是一个在fL 和 fH之间均匀分布的宽带信号经带有抖动 t的时钟采样后的SNR。为了检测其是否正确，设fL=fH=fO（所有能量都位于一个单频率fO处），得到的表达式与单频率情况(3)式相同。

假设fL=fO BW/2，fH=fO+BW/2我们可以得到另一个表达式。这种情况下该表达式变为

公式(略)(5)

用于中心频率为fO带宽为BW的均匀信号 。

再做一次正确性检查，当BW=0时其结果与单载波情况下的（3）式相同。

上述所有推导得到的一个结论是，只要fO>10BW，信号的带宽就几乎可以忽略。将已调制信号作为单载波信号处理会得到本质上相同的结果。然而，如果该条件不成立，则采用单载波近似将给出过于乐观的结果。

本文所讨论的重点为采样数据系统，但文中没有提到混叠的影响。上述推导出的全部公式都假设没有混叠现象。抖动的带宽被认为完全（并且方便地 ）落在一个奈奎斯特区内。如果考虑时钟抖动相当坏，并且信号与奈奎斯特区边界足够接近，则由抖动产生的噪声会在带内形成混叠，从而进一步降低SNR。图3示出了这种影响。时钟馈通信号会产生类似的问题。如果信号和时钟频率很接近，则时钟产生的相位噪声会直接渗漏到输出端，使噪声本底变坏。

图3(略)

采样数据系统中的相位噪声

前面的讨论中也没有考虑到时钟相位噪声对频谱的影响。只是考虑了利用（1）式从总积分相位噪声计算出总的抖动（有效值，单位为秒）。为了了解时钟相位噪声频谱如何影响采样数据频谱，最便捷的方法是利用一个单正弦波信号。将（1）和（3）结合推导出（6）。

公式（略）

采样信号的SNR与时钟的SNR相同，只是相差一个比例系数，即时钟和信号频率比。当信号频率变高时，SNR会以20log的形式降低。这就说明为什么欠采样系统（即带通信号频率仅占据高于奈奎斯特频带的一小部分）要求时钟比基带采样系统具有好得多的相位抖动性能。事实上，中频采样数字无线电结构的性能通常受到时钟相位噪声而非数据转换器性能的限制。

图4（略）

虽然从（6）式中没有看出，但是如图3所示，时钟相位噪声的频谱形状会加在采样数据之上。这可以通过使用混频器模拟采样过程的方法直观地看到。如图4所示，当将一个具有相位噪声 的时钟施加到混频器时，其输出会包含两个混频的乘积，每一个都包含时钟的完全相位噪声 。虽然这一简化的模型没有显示出（6）式所描述的比例系数，但它可用来显示出时钟相位频谱如何影响作为结果的信号。

通过相位调制时钟并将其输入一个ADC很容易测试。通过施加不同的信号频率，还可以验证（6）式。当AD9430 ADC的时钟频率为61.44 MHz时调制时钟相位使其第一边带为 60dBc。图5a，5b和5c显示了这一实验的结果。

图5a示出的是输入信号频率为3.84 MHz时得到的结果。时钟调制分量可以看成是靠近基频信号的两个杂散频率或毛刺。根据（6）式，时钟调制毛刺应为 60 20log(61.44/3.86)= 84 dBc。这与图5a所示的结果非常接近。

图5a(略)

图5b示出的是输入信号频率为65.28 MHz时得到的结果。这是第3奈奎斯特区。FFT显示基带混叠与图5a中3.84 MHz信号的位置相同（即，65.28 MHz 61.44 MHz = 3.84 MHz）。这里fclk~fsig和 60dBc时钟杂散频率可以很容易的被看成是杂散频率加在信号之上，也是 60dBc。这正是按照（6）式所期望的结果。

图5b(略)

图5c示出的是输入信号频率为124.72 MHz时第5奈奎斯特区的结果。该频率大约是图5b所示频率的2倍，并且根据(6)式，杂散频率应该增加大约6 dB，这从图中也可以看到。

图5c(略)

这样就说明时钟频谱确实出现在采样信号附近并且具有一个由（6）式决定的比例系数。但是，到目前为止上述讨论并未区分ADC和DAC。DAC表现出的特性会和ADC相同吗？可以在AD9744 DAC上做相似的实验，时钟频率为61.44 MHz，通过相位调制给出 40 dBc边带，从而生成11 MHz正弦波，5个奈奎斯特频带的结果如图6所示。

图6（略）

可以清楚地看出DAC输出固有的Sinc函数。但是时钟杂散频率发生了什么变化？这可以在每一个输出图形中清楚地看出，只是其振幅不像在ADC中那样增加。相对于满度值，其杂散频率成分的幅度保持不变。
可以从几个方面来解释这一点。当从dBc角度观看时，随着信号频率增大，调制杂散频率按照（6）式所描述的相同方式变坏。Sinc函数同时作用于信号幅度和产生的时钟相位噪声。计算与每个载波相关的杂散频率幅度（以dBc的形式），（6）式是个很好的描述。

另一方面，Sinc函数特性定义为

公式（略）

噪声的幅度由（6）式的倒数给出

公式（略）

也就是说，噪声直接与时钟相位噪声和信号频率成比例。将Sinc函数平方（因为检测的是功率谱密度）并将两者相乘以得到DAC产生的合成噪声传递函数：

公式（略）

正弦函数引起的周期零点特性仍然存在。然而，Sinc函数的分母是产生高频滚降的原因。这一幅度的减弱恰好与（6）式所描述的在高频处增加的相位噪声相抵消。这样一来，DAC产生的相位噪声不会在高频部分增长。

在系统调试中的应用

上述结论除了能够解决与系统设计相关的一些明显问题以减小信号降低，还具有其他一些值得一提的作用。这与发现未知毛刺和噪声源有关。例如，如果DAC输出端的本底噪声升高，则绝大多数情况下不是由时钟相位噪声引起的，可能是由于数字信号耦合到输出电路引起。

如果在采样信号中存在毛刺，检验毛刺是否是由时钟引起的一个比较好的测试方法就是改变信号幅度。模拟失真项的变化率将是信号幅度变化率的2倍（2阶失真）或3倍（3阶失真）。当信号幅度改变时，由数据转换器量化过程的非线性产生的毛刺可能完全不会变化，或者如果它们变化，也将是不可预测的变化。另一方面，由时钟产生的毛刺会以dB为单位随信号呈线性变化。

为了确定采样数据信号中毛刺的来源，不仅要看可能由信号直接耦合到输出端所产生明显的杂散频率处的毛刺，还要看偏移该信号频率处的毛刺。例如，如果毛刺与载波相差10 MHz，要检查系统中是否存在10 MHz振荡器。如果存在，该频率很可能通过时钟渗透到输出信号。

结论

本文讨论了相位噪声和时钟抖动之间的关系，推导出当用带有抖动的时钟对信号采样时所出现的SNR降低，并将这一结论扩展到多载波和宽带调制数据系统。随后讨论了时钟相位噪声频谱问题，并且通过ADC和DAC输出信号频谱验证了这些结论。最后，将这些结论用于调试可能存在非正常毛刺的系统，除了上述结论其他理由可能都无法解释。